Band 2: Numerische Methoden der Analysis
Der zweite Band dieses Lehrbuchs behandelt numerische Methoden zur Interpolation, Approximation und Integration sowie zur Lösung von Differentialgleichungen. Er umfasst Anfangs- und Randwertprobleme, Differenzenverfahren, Variationsmethoden und die Methode der finiten Elemente. Mathematische Vorkenntnisse sind erforderlich.
Dieses Lehrbuch bietet eine umfassende Darstellung derjenigen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme, die nach dem gegen- wärtigen Wissensstand als zuverlässig und effizient gelten. Es führt den Leser von den theoretischen Grundlagen bis auf den Stand der gegen- wärtigen Forschung. Dabei werden nur mathematische Vorkenntnisse vorausgesetzt, wie sie das Grundstudium sowohl für Mathematiker als auch für mathematisch orientierte Anwender üblicherweise bereitstellt. Neben einer sorgfältigen Erarbeitung der Konvergenzeigenschaften der Verfahren werden auch wichtige Details der Implementierung diskutiert. Das Buch enthält zahlreiche durchgerechnete Beispiele und Illustrationen, die dem Leser eine bessere Vorstellung über die Vorgehensweise und Leistungsfähigkeit der Verfahren vermitteln können. Zahlreiche Übungs- aufgaben verschiedenen Schwierigkeitsgrades ermöglichen dem Leser die Kontrolle seines Verständnisses. Das vorgelegte Werk geht sowohl in der Breite des behandelten Stoffes als auch in der Tiefe der mathematischen Analyse über die bestehenden Lehrbücher hinaus. Für die meisten Verfahren werden detailliert ausgearbeitete Konvergenzbeweise angegeben. Eine Fülle von Resultaten aus den letzten 10 Jahren erscheint hier zum ersten Mal in Buchform. Neben in Handrechnung nachvollziehbare einfache Beispiele treten ausgearbeitete Anwendungsbeispiele aus der Praxis.
Inhaltsverzeichnis: 1. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 1.1 Bezeichnungen, spezielle Matrizen. 1.2 Vektornormen, Matrizennormen. 1.3 Rang einer Matrix. 1.4 Mathematische Grundlagen linearer Gleichungssysteme. 1.5 Direkte Lösung linearer Gleichungssysteme, gestaffelte Systeme. 1.6 Der Gauss-Algorithmus für reguläre Systeme. 1.7 Der Gauss-Algorithmus für allgemeine Systeme. 1.8 Der Cholesky-Algorithmus, Systeme mit Bandstruktur, Rechenaufwand. 1.9 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme. 1.10 Iterationsverfahren, Konstruktion und Konvergenz. 1.11 SOR-Verfahren. 1.12 Weitere Verfahren. 2. Matrizen-Eigenwertprobleme. 2.0 Einführungsbeispiele. 2.1 Matrizeneigenwertprobleme — Definition und grundlegende Eigenschaften. 2.2 Schur’sche Normalform, Sensitivität des Matrizeneigenwertproblems. 2.3 Eigenwertschranken, der Rayleighquotient einer Matrix und seine Eigenschaften. 2.4 Zu behandelnde Aufgaben. 2.5 Vektoriteration nach v. Mises und inverse Iteration nach Wielandt. 2.6 Transformationen einer n × n-Matrix auf obere Fastdreiecks- (Hessenberg-) bzw. Tridiagonalform. 2.7 Berechnung der Eigenwerte einer hermiteschen Dreibandmatrix, Berechnung der Eigenwerte eines allgemeinen Eigenwertproblems mit Bandmatrizen. 2.8 Bestimmung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix Methode von Hyman. 2.9 Bestimmung der Eigenvektoren einer nichtzerfallenden Dreibandmatrix. 2.10 Bestimmung der Eigenvektoren einer nichtzerfallenden Hessenbergmatrix.