Extended libor market models

Im Lauf der letzten 20 Jahre hat die Bedeutung derivativer Finanzverträge und deren quantitativer Analyse stetig zugenommen. Zur mathematischen Modellierung des Zinsrisikos ist seit einigen Jahren das Marktmodell in den Brennpunkt akademischer Forschung gerückt, auch in der Praxis der Finanzinstitute ist es weltweit im täglichen Einsatz. Seine Beliebtheit verdankt es unter anderem einer wichtigen Eigenschaft: Es liefert eine finanzmathematisch fundierte Theorie, um die Black-Formel herzuleiten. Diese ist die Standardbewertungsmethode für die bekannteste Zinsoption, den Cap. Am Markt beobachtet man Verwerfungen der Preise für Caps mit verschiedenen Laufzeiten und Ausübungspreisen, die das lognormale Marktmodell nicht erklären kann. Die hier publizierte Dissertation stellt Erweiterungen des Marktmodells vor, mit deren Hilfe solche Preise erfasst werden können. Das erweiterte Marktmodell erlaubt es, sowohl die wichtigsten Zinsoptionen mit geschlossenen Formeln zu bewerten, als auch reale Daten besser zu beschreiben. Das stochastische lognormale Modell eines Wertpapieres benutzt eine lineare Funktion für dessen Volatilität. Der erste Teil des Buches stellt Ergebnisse vor, wie das Modell auf quadratische Funkionen erweitert werden kann. Diese Verallgemeinerung erlaubt immer noch, Kaufoptionen mit geschlossenen Formeln zu bewerten. Man muss also nicht auf numerische oder Monte-Carlo Methoden zurückgreifen. Im zweiten Teil wird diese Verallgemeinerung auf das klassische Zinsmarktmodell angewandt. Man erhält verschiedene Bewertungsformeln für Caps, die sich leicht an Marktdaten kalibrieren lassen. Zusätzlich wird gezeigt, dass man im erweiterten Marktmodell eine einfache Approximationsformel zur Bewertung von Swaptions herleiten kann. Eine Swaption ist das neben dem Cap wichtigste Zinsderivat, nämlich eine Option auf einen Zinsswap. Abschliessend wird am Beispiel von Daten des deutschen Kapitalmarkts gezeigt, dass die Erweiterungen die Preise von Caps und Swaptions auch empirisch besser beschreiben.