Effiziente Verfahren zur Berechnung sämtlicher Grenzzyklen autonomer Systeme

Die Bestimmung geeigneter Startwerte für die Knotenpotentiale, die Frequenz der Oszillation und die Vermeidung der trivialen Lösung stellen Probleme bei der Berechnung der Grenzzyklen von Oszillatoren dar. Die Konvergenzeigenschaften des Standardverfahrens zur Berechnung der Grenzzyklen autonomer Systeme sind vielfach nicht befriedigend. Durch die Einbindung einer zusätzlichen Quelle in die Oszillatorschaltung, einer sogenannten Probe-Source, wird aus dem System autonomer differentiell-algebraischer Gleichungen (DAEs) ein System nichtautonomer DAEs mit der zusätzlichen Bedingung, daß der Strom durch die Quelle im Falle des Grenzzyklus verschwindet. Der Einsatz eines ein- oder zweistufigen Probe-Source-Verfahrens zur Berechnung der isolierten Lösung führt zu einem im Vergleich zum Standardverfahren erweiterten Konvergenzbereich, der Erfolg ist jedoch abhängig von den Startwerten für die Amplitude der Probe-Source und der Oszillationsfrequenz. In dieser Arbeit wird eine ein- und zweidimensionale optimierungsbasierte Initialisierungsprozedur zur schnellen, automatisierten und zuverlässigen Generierung von Startwerten für die Probe-Source-Verfahren zur Berechnung sämtlicher Grenzzyklen autonomer Systeme vorgestellt. Die eindimensionale Initialisierungsprozedur bestimmt einen im Konvergenzbereich der Probe-Source-Verfahren befindlichen Startwert für die Amplitude der Oszillation am Anschlußknoten der zusätzlich eingefügten Quelle. Mit den bekannten linearen Analysetechniken ist die Generierung eines solchen Startwertes nicht möglich, da die Amplitude der Oszillation erst durch die Begrenzung im verstärkenden nichtlinearen Schaltungsteil bestimmt wird. Ein Wert für die Amplitude der Oszillation ist daher bislang vom Anwender abzuschätzen gewesen. Globalisierungstechniken können unterstützend zur Aufweitung des Konvergenzbereichs der Probe-Source-Verfahren eingesetzt werden, befreien den Anwender aber nicht von der manuellen Bestimmung eines Startwertes. Die eindimensionale Initialisierungsprozedur verwendet ein globales ableitungsfreies Optimierungsverfahren zur Detektion des Einzugsbereichs der isolierten periodischen Lösung. Dies ermöglicht die Berücksichtigung des nichtlinearen Verhaltens bei der Bestimmung eines Startwertes. Die zweidimensionale Initialisierungsprozedur bestimmt zusätzlich zum Startwert für die Amplitude der Oszillation am Anschlußknoten der Quelle einen optimierten Startwert für die Oszillationsfrequenz des autonomen Systems. Der von den linearen Analysetechniken generierte Startwert der Oszillationsfrequenz kann für Oszillatoren hoher Güte oder für Oszillatoren mit multiplen Grenzzyklen nicht ausreichend sein. Gerade im letzteren Fall sind die Konvergenzbereiche der einzelnen Lösungen bezüglich der Oszillationsfrequenz oft stark eingeschränkt bzw. extrem unterschiedlich in ihrer Ausdehnung. Die Probe-Source-Verfahren tendieren daher im Falle der Konvergenz häufig zu der Lösung mit dem größten Einzugsbereich, weitere Lösungen sind somit nicht berechenbar. Auch der Einsatz der zu den Globalisierungstechniken zählenden Abstiegsverfahren, Affinen-Invarianz oder Fortsetzungsverfahren kann das Konvergenzverhalten der Probe-Source-Verfahren nicht entscheidend beeinflussen. Erst das von der zweidimensionalen optimierungsbasierten Initialisierungsprozedur generierte Startwertpaar, bestehend aus einem optimierten Wert für die Oszillationsfrequenz und einem Wert für die Amplitude der Oszillation ermöglicht die zuverlässige und erfolgreiche Berechnung sämtlicher Grenzzyklen mit den Probe-Source-Verfahren.